2021年考研数学二21题解析如下：
题目：设函数\( f(x) = \ln(x+1) - \frac{x^2}{x+1} \)，求函数\( f(x) \)在区间[0,1]上的最大值和最小值。
解析：
1. 求导：\( f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + x - 2x^2 - 2x + x^2}{(x+1)^2} = \frac{-x^2 - x}{(x+1)^2} \)。
2. 求导数的零点：令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = -1 \)。
3. 判断单调性：当\( x < -1 \)时，\( f'(x) > 0 \)；当\( x > -1 \)时，\( f'(x) < 0 \)。因此，函数在区间[0,1]上单调递减。
4. 端点值：\( f(0) = \ln(1) - \frac{0^2}{1} = 0 \)，\( f(1) = \ln(2) - \frac{1^2}{2} = \ln(2) - \frac{1}{2} \)。
5. 比较端点值和零点处的函数值：\( f(0) = 0 \)，\( f(1) = \ln(2) - \frac{1}{2} \)，\( f(-1) \)不存在。
综上，函数\( f(x) \)在区间[0,1]上的最大值为\( f(0) = 0 \)，最小值为\( f(1) = \ln(2) - \frac{1}{2} \)。
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