2015年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上的最大值和最小值一定存在。（ ）
A. 正确 B. 错误
答案：A
解析：根据连续函数的性质，函数在闭区间上一定存在最大值和最小值。
2. 下列函数中，在x=0处不可导的是（ ）
A. f(x) = x^2 B. f(x) = |x| C. f(x) = e^x D. f(x) = ln(x)
答案：B
解析：f(x) = |x|在x=0处不可导，因为导数在x=0处不存在。
3. 设a>0，f(x) = x^2 - 2ax + a^2，则f(x)的对称轴是（ ）
A. x = -a B. x = 0 C. x = a D. x = 2a
答案：C
解析：f(x) = x^2 - 2ax + a^2是一个完全平方，其对称轴为x = a。
4. 设f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2，则(f+g)(x) = （ ）
A. 2x^3 + 3 B. 2x^2 + 3x + 3 C. 2x + 3x^2 + 3 D. 2x^2 + 6x + 9
答案：B
解析：(f+g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + 3 + x^2 = 2x^2 + 3x + 3。
5. 下列数列中，收敛于0的是（ ）
A. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... B. 1, 2, 4, 8, ... C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... D. 1, 3, 9, 27, ...
答案：A
解析：A选项是一个等比数列，公比为1/2，收敛于0。
二、填空题
1. 若f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （ ）
答案：3x^2 - 3
解析：根据导数的运算法则，f'(x) = 3x^2 - 3。
2. 设f(x) = e^x，则f'(0) = （ ）
答案：1
解析：f'(x) = e^x，f'(0) = e^0 = 1。
3. 若lim(x→0) (x^2 - 1) / (x - 1) = （ ）
答案：2
解析：利用等价无穷小替换，当x→0时，x^2 - 1 ≈ -1，x - 1 ≈ 0，所以lim(x→0) (x^2 - 1) / (x - 1) = -1/0 = 2。
4. 设f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(1) = （ ）
答案：0
解析：将x=1代入f(x)，得f(1) = 1^2 - 2*1 + 1 = 0。
5. 设f(x) = ln(x)，则f'(x) = （ ）
答案：1/x
解析：根据导数的运算法则，f'(x) = 1/x。
三、解答题
1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x=1处的切线方程。
答案：y = -2x + 3
解析：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，f'(1) = 3*1^2 - 6*1 + 2 = -1。切点为(1, f(1)) = (1, -1)，切线斜率为-1，所以切线方程为y = -2x + 3。
2. 求极限lim(x→∞) (x^3 - 3x^2 + 2x) / (x^2 + 2x - 3)。
答案：3
解析：利用等价无穷小替换，当x→∞时，x^3 - 3x^2 + 2x ≈ x^3，x^2 + 2x - 3 ≈ x^2，所以lim(x→∞) (x^3 - 3x^2 + 2x) / (x^2 + 2x - 3) = 3。
3. 设f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
答案：最大值为1，最小值为0。
解析：f(x)在x=1处取得最大值1，f(0)和f(2)都等于0，所以最小值为0。
4. 求函数f(x) = e^x - 1在x=0处的导数。
答案：f'(0) = 1
解析：f'(x) = e^x，f'(0) = e^0 = 1。
5. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点。
答案：拐点为(1, -1)
解析：f''(x) = 6x - 6，令f''(x) = 0，得x = 1。当x<1时，f''(x) < 0，当x>1时，f''(x) > 0，所以拐点为(1, -1)。
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