2013年数三考研数学真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，则$f'(1)=\boxed{2}$。
2. 若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x^2}=\boxed{1}$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}$，则$A^{-1}B=\boxed{\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}}$。
4. 设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)=\boxed{-1}$。
5. 设$y=\ln x$，则$\frac{dy}{dx}=\boxed{\frac{1}{x}}$。
二、填空题
6. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，则$f'(1)=\boxed{2}$。
7. 若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x^2}=\boxed{1}$。
8. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}$，则$A^{-1}B=\boxed{\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}}$。
9. 设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)=\boxed{-1}$。
10. 设$y=\ln x$，则$\frac{dy}{dx}=\boxed{\frac{1}{x}}$。
三、解答题
11. 求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x-\sin x}{x}$。
解：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x-\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3\sin x\cos 2x-\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin x\cos 2x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin x}{x}\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\cos 2x=2\cdot 1=2$。
12. 求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$的导数。
解：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
13. 求矩阵$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$的逆矩阵。
解：$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$。
14. 求函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的导数。
解：$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$。
15. 求函数$y=\ln x$的导数。
解：$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$。
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