在2015年的考研数学一真题中，考生们面临着一系列充满挑战的数学问题。从基础的代数运算到复杂的微积分，再到几何和概率论，每个题目都旨在检验考生对数学知识的掌握程度和解决实际问题的能力。以下是对其中一道典型题目的解答：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f(x) \) 的极值点。
解答：
1. 首先，求函数 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
2. 然后，令 \( f'(x) = 0 \) 求解 \( x \)：
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]
因此，\( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
3. 接下来，计算 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 处的函数值：
\[ f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 = 4 \]
\[ f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 0 \]
4. 最后，分析 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 两侧的符号变化：
- 当 \( x < 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增；
- 当 \( 1 < x < 3 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减；
- 当 \( x > 3 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增。
因此，\( x = 1 \) 是 \( f(x) \) 的极大值点，极大值为 4；\( x = 3 \) 是 \( f(x) \) 的极小值点，极小值为 0。
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