在考研数学的微积分领域中，一道经典题目如下：
题目：已知函数 \( f(x) = e^{x^2} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项。
解答：
首先，我们需要计算 \( f(x) \) 及其前几阶导数在 \( x=0 \) 处的值。
1. \( f(0) = e^{0^2} = 1 \)
2. \( f'(x) = \frac{d}{dx} e^{x^2} = 2xe^{x^2} \)，所以 \( f'(0) = 0 \)
3. \( f''(x) = \frac{d}{dx} (2xe^{x^2}) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} \)，因此 \( f''(0) = 2 \)
4. \( f'''(x) = \frac{d}{dx} (2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2}) = 4xe^{x^2} + 8x^3e^{x^2} \)，得 \( f'''(0) = 0 \)
根据泰勒公式，函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式为：
\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \]
代入计算出的值，我们得到：
\[ f(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \ldots \]
\[ f(x) = 1 + x^2 \]
所以，\( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项为 \( 1, 0, x^2 \)。
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