在2023年的考研数学真题中，考生们遇到了一系列颇具挑战性的题目。以下是对几道典型真题的原创解析：
1. 线性代数题：设矩阵 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 的实对称矩阵，已知 \( A \) 的特征值分别为 \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3 \)。求矩阵 \( A \) 的特征向量。
解答：由于 \( A \) 是实对称矩阵，其特征向量必正交。因此，我们可以通过解线性方程组 \( (A - \lambda_i I)x = 0 \) 来找到特征向量。对于 \( \lambda_1 = 1 \)，解得特征向量 \( x_1 \)；对于 \( \lambda_2 = 2 \)，解得特征向量 \( x_2 \)；对于 \( \lambda_3 = 3 \)，解得特征向量 \( x_3 \)。通过正交化，我们得到 \( A \) 的特征向量组。
2. 概率论题：假设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \theta \) 的指数分布，其概率密度函数为 \( f(x) = \theta e^{-\theta x} \)（\( x \geq 0 \)）。求 \( X \) 的分布函数 \( F(x) \)。
解答：分布函数 \( F(x) \) 定义为 \( F(x) = P(X \leq x) \)。由于 \( X \) 服从指数分布，我们有 \( F(x) = 1 - e^{-\theta x} \)（\( x \geq 0 \)）。
3. 高等数学题：计算定积分 \( \int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx \)。
解答：利用三角恒等式 \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)，我们可以将积分转化为 \( \frac{1}{2} \int_0^{\pi} (1 - \cos 2x) \, dx \)。计算得到 \( \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} \)。
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