在解析考研数学真题中的级数和函数问题时，首先要对级数的收敛性和函数的连续性进行深入分析。例如，对于级数问题，我们可以通过比值测试、根值测试等方法来判断级数的收敛性。而对于函数问题，则需关注函数的奇偶性、周期性以及导数的计算。
以一道典型的真题为例，假设题目要求求出以下级数的和：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \]
首先，我们识别出这是一个著名的“调和级数的倒数平方”形式。通过应用级数收敛的p-测试，我们知道当p>1时，级数收敛。因此，这个级数是收敛的。
接下来，我们可以利用已知公式计算其和：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]
对于函数问题，例如，求函数\( f(x) = \frac{\sin x}{x} \)在\( x \rightarrow 0 \)时的极限，我们可以通过洛必达法则或等价无穷小替换来求解。利用洛必达法则，我们有：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]
这些解题步骤不仅展示了数学问题的解题思路，也体现了数学在逻辑推理和抽象思维中的重要作用。
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