2021年数学一考研真题17题解析如下：
题目：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求导：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 求导数为0的点：$3x^2-6x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。
3. 确定极值点：由于$f'(x)$在$x=1$和$x=\frac{2}{3}$处为0，故$f(x)$在$x=1$和$x=\frac{2}{3}$处可能取得极值。
4. 求极值：$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1-6=-4$，$f\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^3-3\times\left(\frac{2}{3}\right)^2+4\times\frac{2}{3}-6=-\frac{58}{27}$。
5. 求区间端点值：$f(3)=3^3-3\times3^2+4\times3-6=0$。
6. 比较极值和端点值：在区间$[1,3]$上，$f(x)$的最大值为0，最小值为$-\frac{58}{27}$。
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