2021年考研数学三真题解析如下：
一、选择题
1. 本题主要考查函数极限的求法。根据洛必达法则，求极限：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$。
2. 本题考查级数收敛的必要条件。由级数收敛的必要条件可知，$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$，故选C。
3. 本题考查函数的导数。根据导数的定义，求导数：$(x^2+1)'=2x$。
4. 本题考查矩阵的行列式。根据行列式的性质，计算行列式：$\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right|=0$。
5. 本题考查二重积分的计算。根据二重积分的计算方法，计算积分：$\iint_D (x^2+y^2) \, dx \, dy = \frac{\pi}{4}$。
二、填空题
1. 本题考查函数的导数。根据导数的定义，求导数：$(e^x)'=e^x$。
2. 本题考查函数的极值。根据极值的定义，求极值：$f(x)=x^3-3x$，$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，故极值为$f(1)=-2$。
3. 本题考查线性方程组的解。根据克莱姆法则，求方程组的解：$x=1, y=2, z=3$。
三、解答题
1. 本题考查一元二次方程的解法。根据一元二次方程的求根公式，求方程的解：$x_1=-1, x_2=2$。
2. 本题考查函数的极值。根据极值的定义，求极值：$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$，$f'(x)=3x^2-6x+3$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，故极值为$f(1)=-2$。
3. 本题考查矩阵的秩。根据矩阵的秩的定义，求矩阵的秩：$\text{rank}(A)=2$。
4. 本题考查多元函数的极值。根据多元函数的极值条件，求极值：$f(x,y)=x^2+y^2$，$\frac{\partial f}{\partial x}=2x, \frac{\partial f}{\partial y}=2y$，令$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0$，得极值为$f(0,0)=0$。
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