考研数学一2017年真题解析如下：
一、选择题
1. 题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，求$f'(x)$。
解析：根据导数的基本公式，$f'(x) = 3x^2 - 3$。
2. 题目：设$A$为3阶方阵，且$A^2 = 0$，则$A$的行列式$|A|$等于多少？
解析：由于$A^2 = 0$，$A$不是可逆矩阵，故$|A| = 0$。
二、填空题
1. 题目：若$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$，则$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$的值为多少？
解析：利用泰勒公式，$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$。
2. 题目：设$z = \sin(x + iy)$，则$z$的实部为多少？
解析：利用三角函数的复合公式，$z = \sin x \cos iy + \cos x \sin iy$，实部为$\sin x$。
三、解答题
1. 题目：求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$的极值。
解析：求导得$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = 3$。检验得知$x = 1$为极大值点，$x = 3$为极小值点。
2. 题目：计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} dx$。
解析：利用积分技巧，$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} dx = \ln(\frac{\pi}{2})$。
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