在考研数学中，微分方程是考察的重点之一。以下是一份典型的考研微分方程真题解析：
题目：已知微分方程 \( y'' + y = \sin x \)，求其通解。
解析：
1. 求齐次方程的通解：首先，我们需要找到对应的齐次方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解。对应的特征方程为 \( r^2 + 1 = 0 \)，解得 \( r = \pm i \)。因此，齐次方程的通解为 \( y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 为任意常数。
2. 求非齐次方程的特解：对于非齐次方程 \( y'' + y = \sin x \)，我们尝试设特解为 \( y_p = A \sin x + B \cos x \)。将 \( y_p \) 及其导数代入原方程，得 \( -A \sin x - B \cos x + A \sin x + B \cos x = \sin x \)。整理后，得到 \( -A = 1 \) 和 \( -B = 0 \)，因此 \( A = -1 \) 和 \( B = 0 \)。所以，特解为 \( y_p = -\sin x \)。
3. 求非齐次方程的通解：将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到非齐次方程的通解为 \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \sin x \)。
总结：考研微分方程题目通常分为求通解、特解和特定形式的微分方程。在解题过程中，需要注意齐次方程和非齐次方程的处理方法，以及不同形式的特解的设定。
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