例题：设微分方程 y'' - 4y' + 4y = e^2x，求其通解。
答案：
1. 首先求解对应的齐次方程 y'' - 4y' + 4y = 0 的特征方程，得到 r^2 - 4r + 4 = 0，解得 r1 = r2 = 2，为二重根。
2. 因此，齐次方程的通解为 Y = (C1 + C2x)e^2x，其中 C1 和 C2 为任意常数。
3. 接下来求非齐次方程的特解。由于非齐次项为 e^2x，可设特解为 y* = Ax^2e^2x，其中 A 为待定系数。
4. 将 y* 代入原微分方程，得到 A(4x^2 - 8x + 4)e^2x = e^2x，整理得 A(4x^2 - 8x + 4) = 1。
5. 比较系数，得到 4A = 1，解得 A = 1/4。
6. 因此，非齐次方程的特解为 y* = (1/4)x^2e^2x。
7. 综上所述，原微分方程的通解为 y = Y + y* = (C1 + C2x)e^2x + (1/4)x^2e^2x。
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