2021年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查了极限的计算。根据洛必达法则，分子分母同时求导，得到$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}$。
2. 解析：本题考查了二重积分的计算。根据极坐标变换，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，则原式转化为$\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^2drd\theta=\frac{\pi}{3}$。
3. 解析：本题考查了函数的连续性。由于$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$，故$f(0)=0$。
4. 解析：本题考查了数列的极限。根据夹逼定理，$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$。
5. 解析：本题考查了函数的导数。根据求导法则，$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，则$(x^2+1)'=2x$。
二、填空题
1. 解析：本题考查了行列式的计算。根据行列式的性质，$D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}=1\cdot5\cdot9+2\cdot6\cdot7+3\cdot4\cdot8-3\cdot5\cdot7-2\cdot4\cdot9-1\cdot6\cdot8=0$。
2. 解析：本题考查了级数的收敛性。根据比值审敛法，$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{n}=1$，故级数收敛。
3. 解析：本题考查了函数的极值。根据导数的符号，$f'(x)=0$时，$x=1$，$f''(x)=2$，故$x=1$为$f(x)$的极小值点。
三、解答题
1. 解析：本题考查了一元二次方程的解法。根据求根公式，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a=1$，$b=-3$，$c=2$，得到$x_1=1$，$x_2=2$。
2. 解析：本题考查了多元函数的极值。根据拉格朗日乘数法，设$F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$，则$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=0$，求解得到$x=1$，$y=1$，$\lambda=1$，故$(1,1)$为$f(x,y)$的极小值点。
3. 解析：本题考查了线性方程组的解法。根据克莱姆法则，$D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}=0$，故方程组无解。
4. 解析：本题考查了概率论的应用。根据概率的加法原理，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$，代入$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{1}{2}$，$P(A\cap B)=\frac{1}{6}$，得到$P(A\cup B)=\frac{1}{2}$。
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