在求解高数问题中，拉格朗日中值定理的应用常常能简化问题。今天的高数每日一题，让我们来探讨一个典型的应用实例。
题目：函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \) 在区间 \([1, 4]\) 上连续，在区间 \((1, 4)\) 内可导。证明：存在至少一点 \( \xi \in (1, 4) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} \)。
解答思路：利用拉格朗日中值定理，我们需要验证函数在给定区间上的连续性和可导性，然后找到满足条件的点。
解题过程：
1. 首先，检查函数 \( f(x) \) 在区间 \([1, 4]\) 上的连续性。由于 \( f(x) \) 是多项式函数，它在整个实数域上都是连续的，因此在 \([1, 4]\) 上也连续。
2. 接着，检查函数在区间 \((1, 4)\) 内的可导性。同样，作为多项式函数，\( f(x) \) 在其定义域内处处可导。
3. 应用拉格朗日中值定理，存在至少一点 \( \xi \in (1, 4) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} \)。
4. 计算 \( f(4) \) 和 \( f(1) \)：
\[ f(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 = 64 - 48 + 16 = 32 \]
\[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 - 3 + 4 = 2 \]
5. 计算导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \]
6. 代入 \( \xi \) 得到：
\[ f'(\xi) = 3\xi^2 - 6\xi + 4 \]
\[ \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{32 - 2}{3} = 10 \]
7. 由此可得：
\[ 3\xi^2 - 6\xi + 4 = 10 \]
\[ 3\xi^2 - 6\xi - 6 = 0 \]
\[ \xi^2 - 2\xi - 2 = 0 \]
8. 解这个一元二次方程，可以得到 \( \xi \) 的值。
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