拉格朗日中值定理推论2的证明如下：
证明过程：
1. 设定条件： 设函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，在开区间(a, b)内可导。
2. 应用拉格朗日中值定理： 对函数\( f(x) \)在区间\[a, b\]上应用拉格朗日中值定理，存在\( \xi \in (a, b) \)，使得
\[
f'( \xi ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\]
3. 分析导数的几何意义： 因为\( f'( \xi ) \)是函数\( f(x) \)在点\( \xi \)处的切线斜率，所以\( f'( \xi ) \)表示函数在点\( \xi \)处图像的斜率。
4. 分析函数图像： 由于\( f(x) \)在\[a, b\]上连续，在(a, b)内可导，所以函数\( f(x) \)在区间\[a, b\]上的图像是一条连续不断且光滑的曲线。
5. 结合切线斜率： 根据拉格朗日中值定理的结论，\( f'( \xi ) \)表示函数在点\( \xi \)处的切线斜率，所以\( f(x) \)在\[a, b\]上的图像在点\( \xi \)处的切线斜率等于\( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
6. 得出结论： 由于\( f(x) \)在\[a, b\]上连续，在(a, b)内可导，所以\( f(x) \)在\[a, b\]上的图像在任意两点\( (a, f(a)) \)和\( (b, f(b)) \)之间至少存在一点\( (\xi, f(\xi)) \)，使得函数在该点的切线斜率等于\( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
因此，拉格朗日中值定理推论2得证。
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