拉格朗日函数恒为凹函数的原因在于其构造的本质。在数学优化理论中，拉格朗日函数用于处理带有约束条件的优化问题。它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为无约束问题，从而便于求解。
首先，拉格朗日函数L(x, λ)由目标函数f(x)和约束条件g(x)通过以下方式构造：
\[ L(x, λ) = f(x) - λg(x) \]
其中，λ是拉格朗日乘子。
由于目标函数f(x)通常具有凹性，即对于任意的x1, x2和λ∈[0,1]，有：
\[ f(λx1 + (1-λ)x2) \leq λf(x1) + (1-λ)f(x2) \]
在引入拉格朗日乘子λ后，约束条件g(x)变为：
\[ g(x) = 0 \]
此时，拉格朗日函数L(x, λ)可以看作是目标函数f(x)与约束条件g(x)的线性组合。由于目标函数f(x)是凹函数，其线性组合也保持凹性。
此外，拉格朗日函数的凹性还体现在其一阶导数和二阶导数上。对于拉格朗日函数的一阶导数，我们有：
\[ \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} - \lambda \frac{\partial g}{\partial x} \]
由于目标函数f(x)的一阶导数是线性的，而约束条件g(x)的一阶导数是常数，因此拉格朗日函数的一阶导数也是线性的。
对于拉格朗日函数的二阶导数，我们有：
\[ \frac{\partial^2 L}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \lambda \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \]
由于目标函数f(x)的二阶导数是正定的（凹函数的性质），而约束条件g(x)的二阶导数是零（无约束），因此拉格朗日函数的二阶导数也是正定的。
综上所述，拉格朗日函数恒为凹函数，这是由其构造方式以及目标函数的凹性所决定的。
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