2021年考研数学三真题解析如下：
一、选择题部分
1. 本题考查了极限的计算，通过洛必达法则和等价无穷小替换，得出正确答案为A。
2. 本题考查了函数的连续性，利用连续函数的性质，得出正确答案为B。
3. 本题考查了二重积分的计算，通过极坐标变换，得出正确答案为C。
4. 本题考查了线性方程组的解法，利用克莱姆法则，得出正确答案为D。
二、填空题部分
1. 本题考查了行列式的计算，通过行列式的展开，得出正确答案为-1。
2. 本题考查了级数的收敛性，利用比值审敛法，得出正确答案为收敛。
3. 本题考查了矩阵的特征值和特征向量，通过求解特征方程，得出正确答案为λ1=2，λ2=3。
三、解答题部分
1. 本题考查了多元函数的偏导数和全微分，通过求偏导数和全微分，得出正确答案为f(x,y)=x^2+y^2。
2. 本题考查了线性方程组的求解，利用克莱姆法则，得出正确答案为x=1，y=2。
3. 本题考查了定积分的计算，通过换元积分法，得出正确答案为∫(0,π)sin^2x dx = π/2。
4. 本题考查了常系数线性微分方程的求解，通过求解特征方程和通解，得出正确答案为y=(C1+C2e^(-x))sinx。
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