2021年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 若函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，则该极值是（ ）
A. 极大值 B. 极小值 C. 无极值 D. 无法确定
【答案】A
解析：求导 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 解得 \( x = \pm 1 \)。又 \( f''(x) = 6x \)，\( f''(1) = 6 > 0 \)，故在 \( x = 1 \) 处取得极小值。
2. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)，则矩阵 \( A \) 和 \( B \) 的乘积 \( AB \) 为（ ）
A. \( \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \) B. \( \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \) C. \( \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \) D. \( \begin{bmatrix} 6 & 5 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} \)
【答案】A
解析：\( AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)。
二、填空题
1. 设 \( f(x) = e^{2x} - x \)，则 \( f'(x) = \) _______
【答案】\( 2e^{2x} - 1 \)
解析：\( f'(x) = 2e^{2x} - 1 \)。
2. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则 \( A^{-1} = \) _______
【答案】\( \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
解析：\( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)。
三、解答题
1. 求函数 \( f(x) = e^x - \sin x \) 的极值。
【答案】\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处取得极小值 \( f(0) = 1 \)。
解析：求导 \( f'(x) = e^x - \cos x \)，令 \( f'(x) = 0 \) 解得 \( x = 0 \)。又 \( f''(x) = e^x + \sin x \)，\( f''(0) = 2 > 0 \)，故在 \( x = 0 \) 处取得极小值。
2. 求矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的特征值和特征向量。
【答案】特征值为 \( \lambda_1 = 2 \)，\( \lambda_2 = 5 \)；特征向量分别为 \( \alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)，\( \alpha_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
解析：求特征多项式 \( \text{det}(A - \lambda I) = 0 \)，解得 \( \lambda_1 = 2 \)，\( \lambda_2 = 5 \)。求对应的特征向量，得 \( \alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)，\( \alpha_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
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