考研数学二的试卷和答案如下：
试卷
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 设函数 $f(x) = \ln(x+1)$，则 $f'(0) = $ _______。
2. 若 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^2} = 3$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x - 5x}{x^2} = $ _______。
3. 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，$B$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $AB$ 是可逆矩阵的充要条件是 _______。
4. 设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，则 $\int_0^1 x f(x) \, dx = $ _______。
5. 若 $a, b, c$ 是等差数列，则 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = $ _______。
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 若 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-2} - 2}{x-4} = 1$，则 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-2} - 2}{x-2} = $ _______。
2. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则 $A^{-1} = $ _______。
3. 若 $y = e^x + 3$，则 $y'$ = _______。
4. 设 $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{6}$，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = $ _______。
三、解答题（共50分）
1. 计算定积分 $\int_0^{\pi} \frac{1}{1 + \cos^2 x} \, dx$。
2. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求 $A^2$。
3. 求极限 $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \ldots + \frac{1}{2x}\right)$。
4. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。
答案
一、选择题
1. $1$
2. $3$
3. $B$ 可逆
4. $\frac{1}{2}$
5. $0$
二、填空题
1. $1$
2. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
3. $e^x$
4. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
三、解答题
1. $\frac{\pi}{2}$
2. $\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 18 & 24 \end{bmatrix}$
3. $\frac{1}{2}$
4. $f'(x) = 3x^2 - 6x + 4, f''(x) = 6x - 6$
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