在2025年考研数学中，压轴题无疑是一道极具挑战性的难题。这道题主要考察考生对高等数学中极限、导数、积分等概念的深刻理解和灵活运用。题目如下：
已知函数$f(x) = \frac{\sin x}{x}$，求$f'(0)$。
此题要求考生能够熟练运用洛必达法则、泰勒公式等工具，准确计算出$f'(0)$的值。解题步骤如下：
1. 对$f(x)$求导，得$f'(x) = \frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$。
2. 令$x \rightarrow 0$，由于分母$x^2$趋于0，故需使用洛必达法则。对分子和分母同时求导，得$f'(x) = \frac{-\sin x \cdot x - \cos x}{2x}$。
3. 再次令$x \rightarrow 0$，分子中的$\sin x$和$\cos x$均趋于0，分母中的$x$趋于0，故需使用洛必达法则。对分子和分母同时求导，得$f'(x) = \frac{-\cos x - \sin x}{2}$。
4. 令$x \rightarrow 0$，得$f'(0) = \frac{-1 - 0}{2} = -\frac{1}{2}$。
综上，本题的答案为$f'(0) = -\frac{1}{2}$。
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