在深入剖析考研数学积分真题时，考生需熟练掌握积分的基本概念、法则及技巧。以下是一些经典真题解析：
1. 真题一：计算不定积分 $\int x^3 e^x dx$。
解答：采用分部积分法，设 $u = x^3$，$dv = e^x dx$，则 $du = 3x^2 dx$，$v = e^x$。根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，得：
$$
\int x^3 e^x dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x dx
$$
对 $\int 3x^2 e^x dx$ 再次使用分部积分，设 $u = 3x^2$，$dv = e^x dx$，同理得：
$$
\int 3x^2 e^x dx = 3x^2 e^x - \int 6x e^x dx
$$
重复此过程，最终得：
$$
\int x^3 e^x dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C
$$
2. 真题二：计算定积分 $\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$。
解答：采用换元积分法，令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t dt$，当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = 1$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$。代入原积分得：
$$
\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 t}{\cos t} \cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt
$$
利用三角恒等式 $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$，得：
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2t) dt = \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{2} \sin 2t \right) \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}
$$
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