2016年考研数学二第20题：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求证：对于任意实数$x$，$f(x)\geq 1$。
证明：
首先，对$f(x)$求导，得$f'(x)=3x^2-6x+4$。
令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。
当$x<\frac{2}{3}$或$x>1$时，$f'(x)>0$，故$f(x)$在$(-\infty,\frac{2}{3})$和$(1,+\infty)$上单调递增。
当$\frac{2}{3} 因此，$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$处取得局部最大值，在$x=1$处取得局部最小值。 计算$f(\frac{2}{3})=\frac{2}{27}-\frac{4}{9}+\frac{8}{3}+1=\frac{37}{27}$，$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1+1=3$。 所以，$f(x)$的最小值为$f(1)=3$。 综上所述，对于任意实数$x$，$f(x)\geq 1$。 【考研刷题通】——考研刷题小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松上研！微信搜索“考研刷题通”，开启你的考研之旅！