题目：若函数 \( f(x) = e^{x^2} \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，且 \( f'(x) \) 在 \((0,1)\) 内可导，求 \( f''(0.5) \) 的值。
解答：
首先，我们知道 \( f(x) = e^{x^2} \) 是一个连续函数，因此 \( f'(x) \) 也在整个实数域上连续。根据复合函数的求导法则，我们可以求出 \( f'(x) \) 和 \( f''(x) \)。
1. 求 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = 2xe^{x^2} \]
2. 求 \( f''(x) \)：
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(2xe^{x^2}) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} = 2e^{x^2}(1 + 2x^2) \]
接下来，我们将 \( x = 0.5 \) 代入 \( f''(x) \) 中，得到：
\[ f''(0.5) = 2e^{0.5^2}(1 + 2 \times 0.5^2) = 2e^{0.25}(1 + 0.5) = 2e^{0.25} \times 1.5 \]
因此，\( f''(0.5) \) 的值为 \( 2e^{0.25} \times 1.5 \)。
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