2016年考研数学二真题详解如下：
一、选择题部分
1. 题目回顾：已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f'(1)$。
答案解析：$f'(x)=3x^2-3$，代入$x=1$得$f'(1)=0$。
2. 题目回顾：设$a>0$，$b>0$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的取值范围是？
答案解析：由柯西不等式得：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \leq (1+1)(a+b) = 2(a+b)$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}$。又因为$a>0$，$b>0$，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq 2\sqrt{ab}$。综合可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的取值范围是$[2\sqrt{ab}, \sqrt{2(a+b)}]$。
二、填空题部分
1. 题目回顾：已知$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{2}$，求$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}$。
答案解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{2\sin x\cos x}{x} = 2\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\cos x = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = 1$。
2. 题目回顾：已知$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f'(x)$。
答案解析：$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$。
三、解答题部分
1. 题目回顾：求函数$f(x)=x^3-3x+2$的极值。
答案解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$。当$x<1$时，$f'(x)<0$；当$x>1$时，$f'(x)>0$。所以$x=1$是$f(x)$的极小值点，$f(1)=0$。又因为$f(x)$在$x=-1$处取得极大值，$f(-1)=4$。
2. 题目回顾：求定积分$\int_0^1 x^2e^x dx$。
答案解析：令$I=\int_0^1 x^2e^x dx$，则$I=\left[x^2e^x\right]_0^1-\int_0^1 2xe^x dx = e-2\left[xe^x\right]_0^1+2\int_0^1 e^x dx = e-2e+2e = e$。
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