在数学中，求解 \( n^2 \) 的 \( n \) 次方的极限问题，我们可以通过以下步骤来解答：
首先，将 \( n^2 \) 的 \( n \) 次方表示为指数形式，即 \( (n^2)^n \)。根据指数运算法则，可以将其转换为 \( n^{2n} \)。
接下来，我们需要求解 \( \lim_{n \to \infty} n^{2n} \)。
为了求解这个极限，我们可以利用极限的性质和指数函数的性质。观察到当 \( n \) 趋向于无穷大时，指数 \( 2n \) 也会趋向于无穷大。因此，我们可以将 \( n^{2n} \) 写成 \( e^{2n \ln n} \) 的形式，这里使用了 \( a^b = e^{b \ln a} \) 的指数对数转换。
现在，我们需要求解 \( \lim_{n \to \infty} 2n \ln n \)。这是一个 \( \infty \cdot \infty \) 形式的未定式，我们可以通过洛必达法则来求解。洛必达法则指出，如果 \( \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} \) 是 \( \frac{\infty}{\infty} \) 或 \( \frac{0}{0} \) 形式，那么这个极限等于 \( \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \)，前提是这个新的极限存在。
对 \( 2n \ln n \) 求导，得到 \( 2 \ln n + 2 \)。因此，原极限变为 \( \lim_{n \to \infty} \frac{2 \ln n + 2}{1} \)。
继续求解，我们发现 \( \lim_{n \to \infty} \ln n \) 是无穷大，所以 \( \lim_{n \to \infty} 2 \ln n + 2 \) 也是无穷大。
因此，原极限 \( \lim_{n \to \infty} n^{2n} \) 的结果是无穷大。
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