在数学中，上下极限的四则运算主要涉及对无穷小量、无穷大量以及有界函数的处理。以下是一些基本的运算规则：
1. 加法和减法：如果函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的上下极限存在，那么它们的和与差的上下极限也存在，并且可以按照以下方式计算：
- \( \limsup_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \limsup_{x \to a} f(x) + \limsup_{x \to a} g(x) \)
- \( \liminf_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \liminf_{x \to a} f(x) - \limsup_{x \to a} g(x) \)
2. 乘法：如果 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的上下极限存在，那么它们的乘积的上下极限也存在，并且可以按照以下方式计算：
- \( \limsup_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \limsup_{x \to a} f(x) \cdot \limsup_{x \to a} g(x) \)
- \( \liminf_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \liminf_{x \to a} f(x) \cdot \liminf_{x \to a} g(x) \)
3. 除法：如果 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的上下极限存在，并且 \( g(x) \) 的上下极限不为零，那么它们的商的上下极限也存在，并且可以按照以下方式计算：
- \( \limsup_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\limsup_{x \to a} f(x)}{\limsup_{x \to a} g(x)} \)
- \( \liminf_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\liminf_{x \to a} f(x)}{\liminf_{x \to a} g(x)} \)
在进行这些运算时，需要特别注意以下几点：
- 无穷小量与无穷小量的乘积可能是有界量，也可能是无界量。
- 无穷大量与无穷大量相加或相减，结果可能是无穷大量，也可能是有限量。
- 无穷大量与有界量的乘积是无界量。
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