拉普拉斯方程在极坐标形式下的推导，首先基于坐标变换的原理。我们从笛卡尔坐标系（直角坐标系）中的拉普拉斯方程出发，通过引入极坐标变换来完成推导。
1. 引入极坐标变换：
在笛卡尔坐标系中，点 \( P(x, y) \) 对应的极坐标为 \( P(r, \theta) \)，其中 \( r \) 是原点到点 \( P \) 的距离，\( \theta \) 是从正 \( x \) 轴到点 \( P \) 的连线与正 \( x \) 轴的夹角。
极坐标与笛卡尔坐标的转换关系为：
\[
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta
\]
2. 计算偏导数：
根据链式法则，我们可以计算出在极坐标下的一阶偏导数：
\[
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} = \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}
\]
\[
\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta} = \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}
\]
3. 代入拉普拉斯方程：
拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系中为：
\[
\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
\]
将上述偏导数代入，得到：
\[
\left( \cos^2 \theta \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \sin^2 \theta \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} \right) + \left( \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \right)^2 = 0
\]
4. 整理方程：
通过整理，我们得到拉普拉斯方程在极坐标形式下的表达式：
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0
\]
这样，我们就完成了拉普拉斯方程从笛卡尔坐标系到极坐标系的推导。
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