在数学中，涉及根号的极限问题通常可以通过以下步骤来解决：
1. 识别根号内的表达式：首先，观察根号内的函数，判断其是否趋于0或无穷大。
2. 有理化：如果根号内的表达式在极限过程中趋于0或无穷大，可以通过有理化处理，将根号内的表达式转化为分式形式。
3. 应用极限公式：利用基本的极限公式，如$\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = na^{n-1}$，或者洛必达法则等。
4. 化简与计算：将表达式化简，并计算极限值。
举例来说，考虑以下极限问题：
$$\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{1}$$
解题步骤如下：
1. 识别根号内的表达式：根号内的表达式为$x^2 + 1$，当$x \to 0$时，$x^2 \to 0$，因此整个表达式趋于1。
2. 有理化：由于根号内的表达式趋于1，我们可以有理化处理，即乘以共轭表达式$\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{1}$。
3. 应用极限公式：利用洛必达法则或者直接计算。
4. 化简与计算：通过有理化处理，我们得到：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{(x^2 + 1) - 1}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{1}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + 1}
$$
当$x \to 0$时，分母趋于2，因此极限值为：
$$
\frac{0}{2} = 0
$$
所以，原极限的值为0。
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