为了求解矩阵的特征值和特征向量，我们首先需要找到矩阵的特征多项式，然后求解其根。以下是具体步骤：
1. 定义矩阵：设矩阵 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的矩阵。
2. 计算特征多项式：矩阵 \(A\) 的特征多项式为 \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)，其中 \(\lambda\) 是标量，\(I\) 是单位矩阵。
3. 求解特征值：求出特征多项式 \(p(\lambda)\) 的根，这些根即为矩阵 \(A\) 的特征值。
4. 求解特征向量：对于每一个特征值 \(\lambda_i\)，我们需要解线性方程组 \((A - \lambda_i I)v = 0\)，其中 \(v\) 是非零向量，即特征向量。
下面是一个具体的例子：
例子：求矩阵 \(\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) 的特征值和特征向量。
步骤1：定义矩阵 \(A\)。
步骤2：计算特征多项式 \(p(\lambda)\)。
\[
p(\lambda) = \det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 & 2 \\ 1 & 5 - \lambda & 1 \\ 2 & 1 & 4 - \lambda \end{pmatrix}
\]
步骤3：求解特征多项式 \(p(\lambda)\) 的根。
\[
p(\lambda) = (\lambda - 3)(\lambda - 4)^2
\]
特征值为 \(\lambda_1 = 3\) 和 \(\lambda_2 = 4\)（重根）。
步骤4：求解每个特征值对应的特征向量。
对于 \(\lambda_1 = 3\)，解方程 \((A - 3I)v = 0\)：
\[
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
解得特征向量为 \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
对于 \(\lambda_2 = 4\)，解方程 \((A - 4I)v = 0\)：
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
解得特征向量为 \(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
总结：矩阵 \(\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) 的特征值为 3 和 4（4 重根），对应的特征向量分别为 \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
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