arctanx的幂级数收敛域可以通过以下步骤求得：
首先，将arctanx表示为幂级数形式。利用泰勒级数展开，我们有：
\[ \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \]
其中，展开点是x=0。
接下来，确定收敛半径。由比值法则，考虑级数的一般项\( a_n = \frac{(-1)^n}{2n+1} \)，我们计算：
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{2n+3} \cdot \frac{2n+1}{(-1)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2n+3} = 1 \]
因此，收敛半径\( R = \frac{1}{1} = 1 \)。
最后，确定收敛域。由于收敛半径为1，我们需要检查端点x=-1和x=1处的收敛性。对于x=1，级数变为交错级数，且满足莱布尼茨判别法，因此收敛。对于x=-1，级数变为：
\[ \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \]
由于级数在x=-1处收敛，所以收敛域为[-1, 1]。
综上所述，arctanx的幂级数收敛域是[-1, 1]。
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