幂级数求收敛半径，可以通过以下步骤详细进行：
1. 确定幂级数的一般项：首先，观察幂级数的一般项形式，通常表示为 \( a_n x^n \)，其中 \( a_n \) 是系数，\( x \) 是变量。
2. 应用比值判别法：使用比值判别法，即计算极限 \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \)。这个极限的值可以用来确定收敛半径。
3. 计算收敛半径：根据比值判别法，收敛半径 \( R \) 由以下公式给出：
\[
R = \frac{1}{L}
\]
如果 \( L < 1 \)，则级数在 \( |x| < \frac{1}{L} \) 的区间内收敛；如果 \( L = 1 \)，则需要进一步分析。
4. 检查端点收敛性：在得到收敛半径后，还需要检查端点 \( x = -R \) 和 \( x = R \) 处的级数是否收敛。这通常需要使用其他收敛判别法，如交错级数判别法或根值判别法。
5. 总结收敛区间：最后，根据上述步骤得到的收敛半径和端点收敛性，确定幂级数的收敛区间。
举例说明：
假设我们有一个幂级数 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} \)。
- 一般项为 \( a_n = \frac{1}{n^2} \)。
- 计算比值极限 \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n^2}{(n+1)^2} \right| = 1 \)。
- 因此，收敛半径 \( R = \frac{1}{L} = 1 \)。
- 检查端点 \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \) 的收敛性，可以发现这两个端点处的级数都是收敛的。
- 所以，幂级数的收敛区间是 \( [-1, 1] \)。
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