计算函数 \( y = \sin x \) 绕 y 轴旋转所形成的体积，首先需要明确旋转轴是 y 轴，这意味着旋转后形成的体积是围绕 y 轴的圆柱壳的体积。
根据旋转体体积的计算公式，对于绕 y 轴旋转的曲线 \( y = f(x) \)，其旋转体的体积 \( V \) 可以通过以下积分公式计算：
\[ V = 2\pi \int_{a}^{b} x |f(x)| \, dx \]
在本题中，曲线 \( y = \sin x \) 绕 y 轴旋转，因此 \( x \) 的取值范围是从 \( -\frac{\pi}{2} \) 到 \( \frac{\pi}{2} \)，因为在这个区间内 \( \sin x \) 的绝对值是最大的。所以，体积 \( V \) 的计算公式变为：
\[ V = 2\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x |\sin x| \, dx \]
由于 \( |\sin x| \) 在 \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) 区间内是非负的，我们可以去掉绝对值符号：
\[ V = 2\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx \]
接下来，我们需要计算这个积分。使用分部积分法，设 \( u = x \)，\( dv = \sin x \, dx \)，则 \( du = dx \)，\( v = -\cos x \)。应用分部积分公式 \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)，我们得到：
\[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \]
再次积分 \( \int \cos x \, dx \) 得到 \( \sin x \)。将积分的上下限代入，我们得到：
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \]
将 \( x = \frac{\pi}{2} \) 和 \( x = -\frac{\pi}{2} \) 代入，注意到 \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) 和 \( \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 \)，并且 \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \) 和 \( \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \)，所以：
\[ \left[ -x \cos x + \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \left[ 0 + 1 \right] - \left[ 0 - 1 \right] = 2 \]
最后，将这个结果乘以 \( 2\pi \) 得到绕 y 轴旋转的体积：
\[ V = 2\pi \times 2 = 4\pi \]
因此，函数 \( y = \sin x \) 绕 y 轴旋转所形成的体积是 \( 4\pi \) 立方单位。
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