在处理带根号的分式求极限问题时，可以采取以下步骤：
1. 根式化简：首先，将分母和分子中的根式化简为无根号的形式，便于计算。
2. 有理化：如果可能，将分母有理化，以消除根号。这通常涉及乘以分母的共轭表达式。
3. 分子分母同除：对于无法直接化简的根式，考虑分子和分母同时除以相同的有理数或无理数，以简化表达式。
4. 应用极限法则：利用极限的四则运算法则、无穷小代换、洛必达法则等，将极限问题转化为可计算的形式。
5. 计算极限：最后，计算化简后的表达式的极限。
举例说明：
求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x}$。
解答：
1. 分母和分子中均有根号，考虑分子分母同乘以 $\sqrt{1+x^2} + 1$ 进行有理化。
2. 得到 $\frac{(\sqrt{1+x^2} - 1)(\sqrt{1+x^2} + 1)}{x(\sqrt{1+x^2} + 1)} = \frac{1+x^2 - 1}{x(\sqrt{1+x^2} + 1)} = \frac{x^2}{x(\sqrt{1+x^2} + 1)}$。
3. 进一步简化，得 $\frac{x}{\sqrt{1+x^2} + 1}$。
4. 应用极限的基本运算法则，计算 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1+x^2} + 1}$，得到 $\frac{0}{\sqrt{1+0^2} + 1} = 0$。
通过以上步骤，可以求出带根号的分式的极限。
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