曲线 \( y = x^4 - 2x^3 + 1 \) 的凹凸区间和拐点分析如下：
首先，我们求一阶导数 \( y' \)：
\[ y' = 4x^3 - 6x^2 \]
然后，求二阶导数 \( y'' \)：
\[ y'' = 12x^2 - 12x \]
为了找到曲线的凹凸区间，我们需要确定 \( y'' \) 的符号变化。令 \( y'' = 0 \)，解得：
\[ 12x^2 - 12x = 0 \]
\[ x(x - 1) = 0 \]
\[ x = 0 \text{ 或 } x = 1 \]
接下来，我们检查 \( y'' \) 在 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \) 附近的符号变化：
- 当 \( x < 0 \) 时，\( y'' > 0 \)，曲线是凹的；
- 当 \( 0 < x < 1 \) 时，\( y'' < 0 \)，曲线是凸的；
- 当 \( x > 1 \) 时，\( y'' > 0 \)，曲线是凹的。
因此，曲线的凹区间是 \( (-\infty, 0) \) 和 \( (1, +\infty) \)，凸区间是 \( (0, 1) \)。
拐点发生在 \( y'' \) 从正变负或从负变正的位置，即 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \)。计算拐点处的 \( y \) 值：
\[ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^3 + 1 = 1 \]
\[ y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 1 = 0 \]
所以，拐点是 \( (0, 1) \) 和 \( (1, 0) \)。
【考研刷题通】——考研刷题小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，备战考研！快来加入我们，一起刷题，迈向成功！