在经济学中，规模报酬（Economies of Scale）是指随着生产规模的扩大，单位成本如何变化。对于可变成本函数 \( C(q) \)，其中 \( q \) 是产量，规模报酬可以通过以下公式进行推导：
假设 \( C(q) \) 是一个关于 \( q \) 的可变成本函数，那么规模报酬可以通过以下步骤推导：
1. 定义规模报酬：
规模报酬通常用以下公式表示：
\[
S(q) = \frac{C(q)}{q}
\]
其中，\( S(q) \) 是规模报酬，表示单位产量的平均成本。
2. 求导数：
为了分析规模报酬的变化，我们需要对 \( S(q) \) 求导数，即求 \( S'(q) \)：
\[
S'(q) = \frac{d}{dq} \left( \frac{C(q)}{q} \right)
\]
使用商的求导法则，我们得到：
\[
S'(q) = \frac{q \cdot C'(q) - C(q)}{q^2}
\]
其中，\( C'(q) \) 是 \( C(q) \) 关于 \( q \) 的导数。
3. 分析规模报酬：
根据导数 \( S'(q) \) 的正负，我们可以判断规模报酬的类型：
- 如果 \( S'(q) > 0 \)，则表示规模报酬递增，即随着生产规模的扩大，单位成本下降。
- 如果 \( S'(q) < 0 \)，则表示规模报酬递减，即随着生产规模的扩大，单位成本上升。
- 如果 \( S'(q) = 0 \)，则表示规模报酬不变，即单位成本与生产规模无关。
4. 结论：
通过上述推导，我们可以得出规模报酬的公式，并用于分析不同生产规模下的成本变化。
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