第二换元积分法，又称代换积分法，是一种有效的积分技巧。以下是一个应用第二换元积分法的例子：
假设我们要计算定积分 $\int_{0}^{2\pi} x^2 \sin(x) \, dx$。
首先，我们选择合适的代换。观察积分式中的 $\sin(x)$，我们可以尝试令 $u = \cos(x)$，则 $du = -\sin(x) \, dx$。这样，原积分变为：
$$
\int_{0}^{2\pi} x^2 \sin(x) \, dx = \int_{1}^{-1} x^2 (-du) = \int_{-1}^{1} x^2 \, du.
$$
接下来，我们需要将 $x$ 用 $u$ 表示出来。由于 $u = \cos(x)$，我们可以使用三角恒等式 $x = \pm\sqrt{1 - u^2}$。由于 $x$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上取值，我们只考虑 $x = \sqrt{1 - u^2}$ 的情况。
现在，我们计算 $x^2$。由于 $x = \sqrt{1 - u^2}$，则 $x^2 = 1 - u^2$。
代入积分式，我们得到：
$$
\int_{-1}^{1} x^2 \, du = \int_{-1}^{1} (1 - u^2) \, du.
$$
这个积分可以直接计算：
$$
\int_{-1}^{1} (1 - u^2) \, du = \left[u - \frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left[1 - \frac{1}{3}\right] - \left[-1 + \frac{1}{3}\right] = \frac{4}{3}.
$$
因此，原积分 $\int_{0}^{2\pi} x^2 \sin(x) \, dx$ 的值为 $\frac{4}{3}$。
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