在深入探讨考研数学中的重积分与曲线积分问题时，以下是一些典型的习题及解答思路：
1. 重积分习题：
- 题目：计算由曲面 \(z = x^2 + y^2\) 在 \(x^2 + y^2 \leq 1\) 内的部分所围成的体积。
- 解答：首先，确定积分区域 \(D\) 为单位圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 1\)。然后，通过三重积分计算体积：
\[
V = \iiint_{D} z \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{r^2} r^2 \cos \theta \, dz \, dr \, d\theta
\]
解得体积 \(V\)。
2. 曲线积分习题：
- 题目：计算曲线积分 \(\int_C (y^2 - x^2) \, dx + (2xy) \, dy\)，其中 \(C\) 是由直线 \(y = x\) 和 \(y = -x\) 在第一象限所围成的封闭曲线。
- 解答：首先，将曲线积分转化为格林公式形式，并确定区域 \(D\)。应用格林公式：
\[
\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \, dx \, dy
\]
计算得曲线积分的值。
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