正态分布的均值（μ）与方差（σ²）的关系可以通过以下公式推导得出：
首先，我们知道正态分布的概率密度函数（PDF）为：
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
接下来，我们计算正态分布的期望值（即均值μ）：
\[ E(X) = \mu \]
期望值的计算公式是：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \]
将正态分布的PDF代入期望值公式中，我们得到：
\[ \mu = \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \]
为了简化积分，我们进行变量替换，设 \( t = \frac{x-\mu}{\sigma} \)，则 \( dt = \frac{dx}{\sigma} \)，并且积分限变为从 \(-\infty\) 到 \(+\infty\)：
\[ \mu = \int_{-\infty}^{+\infty} (\mu + \sigma t) \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{t^2}{2}} \sigma dt \]
展开并简化：
\[ \mu = \frac{\mu}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt + \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{+\infty} t e^{-\frac{t^2}{2}} dt \]
第一个积分是高斯积分，其值为1：
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = 1 \]
第二个积分是奇函数的积分，其值为0：
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} t e^{-\frac{t^2}{2}} dt = 0 \]
因此，我们得到：
\[ \mu = \frac{\mu}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \]
由于 \(\mu \neq 0\)，我们可以得出：
\[ \sqrt{2\pi\sigma^2} = 1 \]
所以：
\[ \sigma^2 = \frac{1}{2\pi} \]
这就是正态分布均值与方差的关系。至于方差，我们有：
\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]
将 \( E(X) = \mu \) 和 \( E(X^2) \) 的计算代入，可以得到正态分布的方差公式：
\[ \text{Var}(X) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \]
最后，推荐一款考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松应对考研挑战！【考研刷题通】，考研路上的得力助手！