考研2003数学二第14题深度解析：常见误区与解题技巧

2003年考研数学二第14题常见问题解答

题目原题：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0。证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=2ξf(ξ)。

常见问题1：如何理解题目中的条件f(a)=f(b)=0？

解答：这个条件非常重要，它告诉我们函数f(x)在区间[a，b]的两个端点处的函数值都是0。这意味着在区间(a，b)内，函数f(x)至少有一个最大值或最小值（根据极值定理）。由于f(x)在(a，b)内可导，所以这个极值点一定是驻点，即f′(ξ)=0。但题目要求证明的是f′(ξ)=2ξf(ξ)，所以我们需要进一步利用中值定理等工具来推导。

常见问题2：证明过程中为什么需要构造辅助函数？

解答：构造辅助函数是解决这类问题的常用方法。这里我们可以构造g(x)=xf(x)，然后利用g(x)的性质来证明原命题。因为g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)=g(b)=0，根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得g′(ξ)=0。而g′(x)=f(x)+xf′(x)，所以g′(ξ)=f(ξ)+ξf′(ξ)=0，即f′(ξ)=-f(ξ)/ξ。但题目要求的是f′(ξ)=2ξf(ξ)，所以我们需要重新构造辅助函数。

常见问题3：为什么不能直接使用拉格朗日中值定理？

解答：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点处的函数值不相等。但这里f(a)=f(b)=0，所以直接使用拉格朗日中值定理无法得到有用的结论。我们需要结合其他定理，如罗尔定理或柯西中值定理，来构造合适的辅助函数或证明路径。

题目背景与解题思路

这道题考察的是考研数学中常见的微分中值定理应用问题。题目要求证明存在某点ξ，使得f′(ξ)=2ξf(ξ)，这实际上是一个微分方程的边值问题。解题的关键在于构造合适的辅助函数，然后利用中值定理进行推导。

在证明过程中，我们首先注意到f(a)=f(b)=0的条件，这暗示我们可以考虑利用罗尔定理。但直接应用罗尔定理只能得到f′(ξ)=0，无法满足题目要求。因此，我们需要进一步构造辅助函数g(x)=xf(x)，这样g(x)在[a，b]上仍然满足g(a)=g(b)=0的条件，但在(a，b)内可导。

通过计算g′(x)=f(x)+xf′(x)，我们得到g′(ξ)=0，即f(ξ)+ξf′(ξ)=0。这个式子与题目要求的f′(ξ)=2ξf(ξ)并不完全一致，所以我们需要重新审视题目条件。注意到题目中的2ξf(ξ)形式，我们可以尝试构造另一个辅助函数h(x)=e(-x2)f(x)，然后利用h(x)的性质进行证明。

内容创作技巧分享

在创作这类数学解题文章时，可以采用以下技巧来提升可读性和实用性：

1. 分步解析：将解题过程分解为多个小步骤，每个步骤都配有清晰的解释和说明。这样读者可以逐步理解，避免一次性接受过多信息。

2. 问题导向：先列出常见的疑问点，然后逐一给出解答。这种结构可以让读者快速找到自己关心的问题，提高阅读效率。

3. 图文结合：对于数学证明，适当插入函数图像或逻辑框架图可以帮助读者更直观地理解。例如，可以画出f(x)在[a，b]上的大致形状，标出极值点和驻点。

4. 对比分析：如果存在多种解题方法，可以对比不同方法的优劣和适用场景。例如，比较直接使用中值定理和构造辅助函数两种方法的差异。

5. 语言通俗化：避免使用过于专业的术语，用通俗易懂的语言解释数学概念。例如，将"罗尔定理"解释为"如果在一段连续且光滑的曲线上，两端点的高度相同，那么在这段曲线内部至少有一点是水平的"。

通过这些技巧，可以使数学解题文章既专业又易于理解，帮助读者更好地掌握解题方法。