在求解函数 \( z = y^x \) 的偏导数时，我们使用对数求导法。首先对 \( z = y^x \) 两边取自然对数，得到：
\[ \ln(z) = \ln(y^x) \]
根据对数的性质，可以进一步简化为：
\[ \ln(z) = x \ln(y) \]
接下来，我们对等式两边分别对 \( x \) 进行偏导数求解。由于 \( z \) 是 \( x \) 的函数，而 \( y \) 是常数，我们得到：
\[ \frac{\partial}{\partial x} \ln(z) = \frac{\partial}{\partial x} (x \ln(y)) \]
根据链式法则，左边为：
\[ \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} \]
右边为：
\[ \ln(y) \]
因此，我们得到：
\[ \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} = \ln(y) \]
解出 \( \frac{\partial z}{\partial x} \)：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = z \ln(y) \]
由于 \( z = y^x \)，代入得到最终结果：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y^x \ln(y) \]
【考研刷题通】小程序，帮你高效刷题，政治、英语、数学等全部考研科目全覆盖，轻松备战考研！立即扫码，开启你的刷题之旅！微信搜索：【考研刷题通】，助你一臂之力！