考研数学二：函数与极限中的常见陷阱及破解之道

介绍

考研数学二的重难点主要集中在函数与极限部分，尤其是极限的计算和证明题。很多同学在备考过程中容易陷入一些常见的误区，比如极限不存在就一定不能相加、洛必达法则可以随意使用等。这些问题看似简单，却往往成为考生失分的“绊脚石”。本文将结合历年真题，深入剖析这些重难点，并提供详细的解答思路，帮助大家彻底搞懂函数与极限的核心考点，避免在考试中犯低级错误。

常见问题解答

问题1：无穷小量的比较在极限计算中的应用误区

问题：很多同学在计算极限时，对无穷小量的比较掌握不牢，常常出现“大代小，小代大”的随意替换，导致计算结果错误。例如，在计算lim(x→0) (x2sin(1/x)/x)时，错误地将其简化为lim(x→0) (xsin(1/x))。

解答：无穷小量的比较是极限计算中的关键技巧。在替换无穷小量时，必须确保高阶无穷小量可以替代低阶无穷小量，但反之则不一定成立。在上述例子中，x2是比x更高阶的无穷小量，只有当分母和分子中无穷小量的阶数相同时才能直接替换。正确解法是：lim(x→0) (x2sin(1/x)/x) = lim(x→0) (xsin(1/x)) = 0。这里利用了xsin(1/x)的绝对值不超过x的性质。这种替换必须严格验证无穷小量的阶数关系，否则容易出错。

问题2：洛必达法则的适用条件及常见错误

问题：洛必达法则在考研数学中应用广泛，但很多同学对其适用条件掌握不清，导致在计算过程中盲目使用。例如，在计算lim(x→∞) (x sin(x)/x)时，错误地直接应用洛必达法则，得到lim(x→∞) (1 cos(x)/1) = -1，显然这个结果是错误的。

解答：洛必达法则的使用必须满足三个条件：函数比值形式为0/0或∞/∞，分子分母都可导，导数的比值极限存在或趋于无穷大。在上述例子中，虽然函数形式看似满足条件，但实际计算发现，sin(x)的导数cos(x)在x→∞时振荡不定，导致导数比值极限不存在。正确解法是：lim(x→∞) (x sin(x)/x) = lim(x→∞) (1 sin(x)/x) = 1 0 = 1。这里通过分离出主要部分x/x=1，再处理余项-sin(x)/x。这个例子说明，在使用洛必达法则前，一定要验证所有条件是否满足，否则需要寻找其他方法解决。

问题3：函数连续性与间断点的判断技巧

问题：函数连续性的判断是考研数学中的常见考点，但很多同学在处理分段函数时容易遗漏某些点，导致判断错误。例如，在判断函数f(x) = (x2-1)/(x-1)在x=1处的连续性时，直接约分得到f(x)=x+1，从而认为函数在x=1处连续。

解答：函数在一点连续需要满足三个条件：函数在该点有定义、极限存在、极限值等于函数值。对于分段函数，尤其要注意分段点处的连续性判断。在上述例子中，虽然约分后函数形式简化，但原函数在x=1处无定义，因此不连续。正确处理方法是：通过极限定义，lim(x→1) (x2-1)/(x-1) = lim(x→1) (x+1) = 2，因此可以定义f(1)=2使函数在x=1处连续。这个例子说明，对于可约分的函数，必须验证约分过程是否在所有x值都成立，否则需要单独处理约分无效的点。