考研数学二2024年17题深度解析：常见误区与解题技巧
文章介绍
2024年考研数学二第17题涉及定积分的应用，题目看似简单却暗藏玄机。很多考生在计算过程中容易陷入误区，比如忽略绝对值符号的处理、错误应用积分区间分段等。本文将结合考试中的常见问题，用通俗易懂的方式讲解解题思路，并提供详细步骤，帮助考生避免低级错误，掌握核心考点。
常见问题解答与解题步骤
考研数学二2024年17题主要考查定积分在求解平面图形面积中的应用，题目中涉及到绝对值函数和分段积分的处理，很多考生在这一部分容易出错。下面我们通过几个典型问题来解析这道题的解题思路。
问题1：如何正确处理绝对值函数？
答案：在处理绝对值函数时，最关键的是要确定函数变号的区间。对于本题中的sin x x，我们需要先求出sin x = x的交点。通过观察函数图像可以发现，在[0, π]区间内只有一个交点，记为x?。因此，我们需要将积分区间[0, π]分为[0, x?]和[x?, π]两部分。在[0, x?]区间内，sin x > x，所以sin x x = sin x x；在[x?, π]区间内，sin x < x，所以sin x x = x sin x。这样就可以去掉绝对值符号，分别计算两个区间的积分。
问题2：定积分分段计算时需要注意什么？
答案：在分段计算定积分时，最容易犯的错误是忽略积分区间的重新定义。比如本题中，如果在计算sin x x在[0, π]上的积分时，直接分段但忘记对积分限进行相应调整，就可能导致计算错误。正确做法是：首先明确分段点x?的位置，然后将原积分拆分为两个子积分，每个子积分的积分限要与对应的函数表达式匹配。还要注意积分的符号问题，确保每个子积分的符号与原函数在该区间的符号一致。将两个子积分的结果相加，得到最终答案。
问题3：如何验证定积分计算结果的正确性？
答案：验证定积分计算结果的方法主要有两种。第一种是数值验证，可以利用计算器或编程工具计算积分的近似值，与手算结果进行对比。第二种是几何验证，对于面积问题，可以画出函数图像，直观判断积分区域和计算结果的合理性。还可以尝试用不同的方法计算同一积分，比如换元法或分部积分法，看是否得到相同的结果。对于本题，我们可以通过画出sin x x在[0, π]上的图像，发现积分区域可以分为一个山峰和一个谷底，通过几何估算可以大致判断积分结果的范围是否合理。
解题步骤演示
下面我们给出这道题的详细解题步骤：
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确定积分函数和区间：题目要求计算∫?πsin x xdx，积分区间为[0, π]。
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找到函数变号点：解方程sin x = x，在[0, π]区间内只有一个解x?（约0.86）。这个点将积分区间分为[0, x?]和[x?, π]两部分。
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分段处理绝对值函数：
- 在[0, x?]区间，sin x > x，所以sin x x = sin x x
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在[x?, π]区间，sin x < x，所以sin x x = x sin x
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计算分段积分：
- ∫?x?(sin x x)dx = (-cos x x2/2)?x? = (-cos x? x?2/2) (-1 0) = 1 cos x? x?2/2
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∫x?π(x sin x)dx = (x2/2 + cos x)x?π = (π2/2 1) (x?2/2 + cos x?)
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合并结果：将两个积分结果相加，得到最终答案： ∫?πsin x xdx = [1 cos x? x?2/2] + [(π2/2 1) (x?2/2 + cos x?)] = π2/2 2cos x? x?2
通过以上步骤，我们可以得到这道题的精确解。在考试中，要注意计算的准确性和符号的正确使用，避免因为小错误而失分。