题目：计算二重积分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$，其中积分区域 $D$ 为 $x^2 + y^2 \leq 1$。
解题步骤：
1. 确定积分区域：积分区域 $D$ 是单位圆 $x^2 + y^2 \leq 1$。
2. 选择合适的积分方法：由于被积函数 $(x^2 + y^2)$ 在极坐标下更易于处理，我们可以选择极坐标进行积分。
3. 转换坐标：在极坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，因此 $x^2 + y^2 = r^2$。
4. 确定积分范围：在极坐标下，积分区域 $D$ 对应的 $r$ 的范围是从 $0$ 到 $1$，$\theta$ 的范围是从 $0$ 到 $2\pi$。
5. 计算积分：
\[
\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \, dr \, d\theta
\]
首先对 $r$ 积分：
\[
\int_0^1 r^3 \, dr = \frac{1}{4}r^4 \bigg|_0^1 = \frac{1}{4}
\]
然后对 $\theta$ 积分：
\[
\int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}
\]
所以，二重积分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \frac{\pi}{2}$。
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