2015年考研数学一试卷解析及考生疑问解答

2015年考研数学一试卷在考生中引发了广泛关注，不少考生对部分题目的解答思路和评分标准存在疑问。本文将结合考后发布的答案，针对考生普遍关心的问题进行详细解析，帮助考生更好地理解试卷难点，总结备考经验。内容涵盖高数、线代、概率等多个模块，力求解答清晰、贴近考生实际。

常见问题解答

问题1：2015年数学一第10题的积分计算方法是什么？

该题考查定积分的几何应用，涉及分段函数的积分计算。考生需要明确积分区域是由直线y=x和抛物线y=1-x2围成的封闭图形。由于函数在不同区间上的表达式不同，需将积分拆分为两部分：0到1和1到√2。具体步骤如下：
1. 确定积分区间：通过解联立方程x=x和y=1-x2，得到交点为(0,0)和(1,0)，以及(1,1)和(√2,0)。
2. 分段积分：在0到1区间，y=x与y=1-x2围成的面积计算为∫(x-(1-x2))dx；在1到√2区间，由于抛物线在直线下方，积分表达式为∫(1-x2-x)dx。
3. 计算结果：将两段积分结果相加，得到最终面积值。评分标准中，若考生能正确拆分积分区间并给出部分积分步骤，即使结果有误也能获得部分分数。许多考生因忽略分段或符号错误导致失分，建议备考时加强此类题型的专项练习。

问题2：第15题的微分方程求解思路是什么？

这道题考查二阶常系数非齐次微分方程，关键在于正确写出特征方程和特解形式。题目给出的方程为y''-2y'+y=x2，解题步骤如下：
1. 求齐次解：先解对应的齐次方程y''-2y'+y=0，特征方程为r2-2r+1=0，解得r=1（重根），因此齐次解为y=C?ex+C?xex。
2. 求非齐次特解：由于右侧为x2的多项式，特解形式设为Ax2+Bx+C。代入原方程后，通过比较系数得到A=1，B=2，C=3，故特解为x2+2x+3。
3. 通解合并：最终通解为y=C?ex+C?xex+x2+2x+3。常见错误包括特征根计算错误或特解形式设错，建议考生熟练掌握不同右侧函数的特解设法规律。

问题3：第20题的线性代数证明题如何入手？

该题考查向量组线性相关性的证明，核心是利用反证法或矩阵秩的性质。题目要求证明某向量组线性无关，解题思路如下：
1. 假设矛盾：假设该向量组线性相关，则存在不全为零的系数使线性组合为零向量。
2. 构造矩阵：将向量组作为矩阵的列，通过初等行变换化简，若能出现全零行，则向量组线性相关；否则线性无关。
3. 结合秩判断：若向量组个数等于矩阵的秩，则线性无关。考生中常见失误在于仅依赖直觉判断，未严格通过计算验证，建议多练习这类需要逻辑推理的证明题。