题目：若函数 \( f(x) = \ln(x+1) + \frac{1}{x+1} \) 在 \( x=0 \) 处取得极值，求此极值点。
解题过程：
首先，对函数 \( f(x) \) 求导，得
\[ f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} \]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得
\[ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} = 0 \]
\[ (x+1) - 1 = 0 \]
\[ x = 0 \]
接着，判断 \( x=0 \) 处是否为极值点。计算二阶导数 \( f''(x) \)，
\[ f''(x) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{2}{(x+1)^3} \]
当 \( x=0 \) 时，\( f''(0) = 1 \)，说明 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处取得极小值。
最后，求出 \( x=0 \) 处的极小值。将 \( x=0 \) 代入 \( f(x) \)，得
\[ f(0) = \ln(0+1) + \frac{1}{0+1} = 0 + 1 = 1 \]
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处取得极小值 \( 1 \)。
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