题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求证：对于任意$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x)\geq 1$。
证明：
首先，对函数$f(x)$求导，得到$f'(x)=3x^2-6x+4$。
令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。
接下来，分析函数$f(x)$的单调性。当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$，因此$f(x)$在$(-\infty,\frac{2}{3})$上单调递增；当$\frac{2}{3}
由于$f(x)$在$x=1$处取得极小值，因此$f(x)$在$x=1$处取得最小值。计算$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1+1=3$。
综上所述，对于任意$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x)\geq 3$。
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