1987年考研数学一真题答案详解如下：
一、选择题
1. 答案：C
解析：本题考查了函数的极限。
2. 答案：D
解析：本题考查了二重积分的计算。
3. 答案：A
解析：本题考查了微分方程的求解。
4. 答案：B
解析：本题考查了行列式的计算。
5. 答案：C
解析：本题考查了线性方程组的求解。
二、填空题
6. 答案：$ \frac{\pi}{2} $
解析：本题考查了定积分的计算。
7. 答案：$ 2a $
解析：本题考查了不定积分的计算。
8. 答案：$ -1 $
解析：本题考查了函数的导数。
9. 答案：$ \frac{1}{2} $
解析：本题考查了二阶导数的计算。
10. 答案：$ 3 $
解析：本题考查了矩阵的秩。
三、解答题
11. 答案：
（1）$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
（2）$ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $
（3）$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + y^2} $
12. 答案：
（1）$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $
（2）$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $的逆矩阵为$ \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} $
13. 答案：
（1）$ \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 $
（2）$ \int_{0}^{1} e^x dx = e - 1 $
14. 答案：
（1）$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^3} = \frac{9}{2} $
（2）$ \int_{0}^{1} x^3 dx = \frac{1}{4} $
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