1. 若函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求其在$x=1$处的二阶导数。
2. 设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^2 - 5A + 6E$，其中$E$为单位矩阵。
3. 已知数列$\{a_n\}$的递推关系为$a_n = 2a_{n-1} - 1$，且$a_1 = 1$，求$a_n$的通项公式。
4. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - \sin(2x)}{x^2}$。
5. 设$z = x^2y$，其中$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，求$\frac{\partial z}{\partial r}$和$\frac{\partial z}{\partial \theta}$。
6. 求解微分方程$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$。
7. 已知函数$f(x) = e^x \sin x$，求$f'(x)$。
8. 求解线性方程组$\begin{cases} 2x + 3y - z = 1 \\ 3x + 2y + z = 2 \\ x - y + 2z = 3 \end{cases}$。
9. 设$F(x) = \int_0^x t^2 e^t dt$，求$F'(x)$。
10. 求解曲线$y = e^x$与直线$y = x$在第一象限的交点。
11. 求函数$g(x) = \ln(x^2 + 1)$的导数$g'(x)$。
12. 设$A$为$n \times n$的上三角矩阵，证明$A$的行列式等于其对角线元素的乘积。
13. 求解积分$\int_0^{\pi} x^2 \cos x dx$。
14. 设$f(x) = \sqrt{x}$，求$f''(x)$。
15. 求解微分方程$\frac{d^2y}{dx^2} + 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0$。
16. 设$f(x) = \frac{1}{x}$，求$f(x)$的奇偶性。
17. 求解线性方程组$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2 \\ 3x + 2y + z = 3 \end{cases}$。
18. 求解极限$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 + 1}{x - 1}\right)^x$。
19. 设$z = x^2y^3$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$。
20. 求解方程$\ln(x + 1) - \sqrt{x} = 0$。
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