在考研数学中，曲线积分问题通常涉及曲线与向量场之间的关系，要求考生掌握格林公式、参数方程以及曲线积分的计算方法。以下是一个典型的曲线积分题目示例：
题目：设曲线 \(L\) 为平面直角坐标系中由参数方程 \(x = \cos t, y = \sin t\) （\(0 \leq t \leq 2\pi\)）所描述的圆，计算 \( \int_L (x^2 + y^2) \, ds \)。
解答思路：
1. 确定曲线 \(L\) 的表达式：由参数方程 \(x = \cos t, y = \sin t\) 得到 \(x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1\)。
2. 计算微元 \(ds\)：由于 \(x\) 和 \(y\) 均为 \(t\) 的函数，所以 \(ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} \, dt = dt\)。
3. 将曲线积分转化为定积分：由于 \(x^2 + y^2 = 1\)，故 \( \int_L (x^2 + y^2) \, ds = \int_0^{2\pi} 1 \, dt \)。
4. 计算定积分：\( \int_0^{2\pi} 1 \, dt = t \bigg|_0^{2\pi} = 2\pi \)。
最终答案：\( \int_L (x^2 + y^2) \, ds = 2\pi \)。
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