2019年数学二考研19题解析如下：
本题考查了多元函数的极值问题。首先，对函数求偏导数，得到：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 2xy + 2y^2$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = -2x^2 + 4xy + 4y^2$$
令偏导数为0，解得驻点$(0,0)$和$(2,1)$。
接下来，计算二阶偏导数，得到：
$$f_{xx} = 6x - 2y$$
$$f_{xy} = -2x + 4y$$
$$f_{yy} = 4x + 8y$$
计算Hessian矩阵的行列式$D$和主元$a$：
$$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (6x - 2y)(4x + 8y) - (-2x + 4y)^2$$
$$a = f_{xx} = 6x - 2y$$
对于驻点$(0,0)$，$D = 0$，无法判断极值类型。对于驻点$(2,1)$，$D = 48 > 0$，$a = 10 > 0$，因此$(2,1)$是函数的极小值点。
最后，计算极小值：
$$f(2,1) = 3 \times 2^2 - 2 \times 2 \times 1 + 2 \times 1^2 = 12 - 4 + 2 = 10$$
因此，本题的答案为10。
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